求助:可靠性试验设计时的样品寿命分布模型的选择

hlperng

大哉問，那要看解決問題及判斷決策是從工程的觀點，還是從數學的觀點。從工程與應用的觀點，這是業界所需要的，數學永遠只是工具，再完美的數學也不能解決現實的工程問題。況且樣本還是樣本，解決問題的目標在於群體的代表性。

通用伽瑪分布有三個參數：一個尺度參數 λ 或 η、兩個形狀 β 及 κ，通用伽瑪分布的機率密度函數可以寫為：



或



其中 Γ(κ)為伽瑪函數：

。

所有 T ≥ 0 （或 X ≥0）的隨機變數，最常見的就是失效發生時間或壽命，普通機率分布理論數學模型，例如指數分布、伽瑪分布、卡方分布、瑞雷分布、馬克斯威爾分布、對數常態分布等，都是通用伽瑪分布的特例，

分布	λ	κ	β
通用伽瑪分布	λ	κ	β
伽瑪分布	λ	κ	1
韋伯分布	λ	1	β
指數分布	λ	1	1
卡方分布	1/2	r/2	1
瑞雷分布	1/(η √(2))	1	2
馬克斯威爾分布	1/(η √(2))	3/2	2

請參閱：
http://redi.org.tw/forum.php?mod=viewthread&tid=629&page=1&extra=#pid1585

有關通用伽瑪分布在可靠度的應用，可參閱 Reliasoft 公司的可靠度維基網站 (reliawiki.org)，對於通用伽瑪分布的特質有詳細的數學推導，並提供通用伽瑪分布分析壽命試驗資料的應用案例，回歸分析所得到的參數推論值，利用該公司發行的可靠度分析套件 Weibull⁺⁺ 7 (?) 的對數常態機率圖模組，討論說明分析結果的處理方式，判斷該壽命試驗結果比較符合韋伯分布或對數常態分布，分析結果得到的參數分別為 ε = 0.2980、σ = 0.5221、μ = 4.2258，或者 λ = 1.01653、η = 0.98374、β =0.57077、κ = 10.58329，κ 接近 0、而 κ 遠大於 1，當然就資料而言，對數常態分布的假設 (ε = 0.2980 ∼ 0) 是比韋伯分布 (κ = 10.58 >> 1) 的假設要好很多。該組資料的平均值為 73.52522、標準差為 37.27531。若以兩參數機率分布，利用 Weibull⁺⁺6 圖解分析，得到對數常態分布的參數為 μ_y=4.1468、σ_y=0.5667，韋伯分布的參數為 η=81.1026、β=2.2007，請參閱：
http://reliawiki.org/index.php/The_Generalized_Gamma_Distribution


有一個議題值得思考，三參數的通用伽瑪分布，經過數學轉換可以簡化收斂其數學模型複雜度，變成大家熟悉常用的機率分布，大致可歸納為下述四種情形： (1) 伽瑪分布是 κ 個指數分布獨立總和的機率分布，(2) 韋伯分布是由許多元件所構成系統（以零為界限）的極小值分布，(3) 對數常態是多項影響因素為乘積關係的壽命分布，(4) 常態分布構成分量的平方和的開根值，例如一度空間、二度空間、三度空間的偏心距（半徑）。許多單變數機率分布彼此有關聯，各種常用單變數機率分布之間的關係，請參閱：

http://redi.org.tw/forum.php?mod=viewthread&tid=41&extra=page%3D1


可靠度評估的主要目的在於透過資料統計分析，獲得有用的可靠度推論及機率分布參數的推論值，提供現有產品的改進及未來產品創新的依據或參考。可靠度議題討論壽命的機率分布時，應瞭解資料的特性，一般多以極值分布為進階研究的方向，根據甘伯近似分布，極值分為極大值與極小值兩種，極值分布有三型：第一型極值分布，其原始分布的尾端呈指數 (exp) 快速遞減者屬之，此類極值分布尾端一般較單薄（機率相對較小），亦即收斂較快，因此又稱為輕尾分布，例如常態分布、指數分布，代表分析一般稱為極值分布(extreme value distribution)或甘伯分布 (Gumble distribution)，嚴謹而言，它是一型極大值分布；第二型極值分布，其原始分布的尾端成多項式或幂次方遞減，此類極值分布尾端一般較厚重（機率相對較大），亦即收斂較慢，因此又稱為重尾分布，代表性的分布為 Frechet 分布；第三型為尾端有界限（例如 X ≥ 0）的極值分布，代表性的分布為第三型極小值分布，也就是有名的韋伯分布 (Weibull distribution)。資料統計回歸分析過程中相關係數或類似資訊，那是數學模型誤差多寡的指標，只是作為決策判斷的依據之一，對於試驗資料的分析與應用，工程判斷往往優於統計判斷，這就是為什麼美國商務部 (DOC) 國家標準與技術研究院 (NIST) 資訊技術實驗室 (information technology laboratory, ITL) 的統計工程組 (statistical engineering division, SED) 積極推動探索式資料分析 (exploratory data analysis, EDA) 技法及長期經營發展「工程統計手冊」(engineering statistical handbook) 線上電子書的主因，其中第 8 章就是討論工程統計技法在可靠度的應用。工程統計手冊網址為：

http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/

hlperng

xxex 發表於 2015-4-10 10:15
廖博，您好！我通过数据拟合回归分析已经确定Generalized Gamma (GenGamma)的拟合优度最好，这里分布模型 ...

根據資料分析結果所得到的對數型通用伽瑪分布的機率分布參數推定值為：
ε = -10.9419，σ = 20.74267，μ = 11.40948。
ε >> 0，根據通用伽瑪分布的應用原則，表示這些資料是不適宜選用對數常態分布。

一般常用的傅雷切 (Frechet) 分布的累積分布函數 (CDF) 為：



韋伯 (Weibull) 分布的累積分布函數為：



傅雷切分布是甘伯 (Gumble) II 型極大值分布，與甘伯 III 型極小值分布（亦即韋伯分布），兩者有互為倒數關係。

甘伯 I 型極大值分布一般稱為雙指數分布，其累積分布函數為：



甘伯分布、傅雷切分布、韋伯分布，都是通用極值分布 (generalized extreme value, GEV) 的特例。

本資料分析案例所使用的機率分布為：



好像是位置參數  μ、形狀參數 β = 1 的甘伯 I 型極大值分布，但是做資料分析之前，先將隨機變數作對數轉換，以 log (x) 取代 x。不知這樣經過變數轉換的目的為何。在根據資料分析推論結果作決策時，應該先將此一數學轉換納入說明，否則可能會得到不同的結論。

壽命或失效發生時間是極小值問題，應力是極大值問題，可靠度是比較供給強度 (supplied strength) 與要求應力 (required stress) 之間的互動關係，關切的是極大應力與極小強度。根據此一工程原則選擇適當的機率分布。

應用數學模型處理工程問題時，儘量使用簡單、一致、有物理意義的數學模型書寫方式，對於問題解決與後續決策制定是有絕對的好處！！再次強調數學只是工具，不要被所使用的工具模糊了原有工程問題的焦點。

hlperng

xxex 發表於 2015-4-15 10:39
彭大师，我这里采用的傅雷切分布的表达式来自于JMP
http://www.jmp.com/support/help/Technical_Details_ ...

謝謝提醒，隨機變數取對數轉換，是為了簡化數學模型而做的標準化處理，將雙指數變成單指數，讓 Gumbel I、II、III 型極值分布都可使用標準極值分布表示（就像標準常態分布一樣），如何簡化數學模型是電腦軟體撰寫程式常需要做的努力 。（把自己的時間點拉回到 1988 年時代！）

因為隨機變數已經對數轉換處理，轉換後變數的位置應該是原始變數的尺度參數，尺度參數則是形狀參數，所以經過數學（電腦套裝軟體）處理後的解答，應該回到原始分布的特質。

不過還是提醒，傅雷切分布適合極大值 (LEV)、韋伯分布適合極小值 (SEV)，應該是不變的原則。先思考所要解決的工程問題是極大值問題，還是極小值問題！

hlperng

xxex 發表於 2015-4-15 13:28
谢谢大师的指点，我这里的工程问题其实就是要根据寿命分布模型确定可靠性验证试验的目标值，试验时间，样 ...

就個人所知，壽命及失效發生時間問題，都是壽命短或失效時間小的先發生，關心的是極小值，所以多選擇 Gumbel III 型極小值分布，也就是韋伯分布，這就是韋伯分布常用於處理存活機率的原因；氣候資料、財務資料，關心的是極端氣候最大雨量或最大獲利，屬於極大值性質，所以大多選用 Gumbel I 型極大值的甘伯分布，或傅雷切分布 (Gumbel II 型極大值分布)。