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睿地可靠度論壇(TW-REDI Forum)

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韋伯分布與伽瑪分布在可靠度領域的物理意義 [複製鏈接]

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發表於 2019-2-19 09:33:00 |顯示全部樓層
本帖最後由 hlperng 於 2019-4-20 08:53 編輯

韋伯分布描述產品壽命的工程整合、伽瑪分布描述產品壽命的統計整合。

可靠度與壽命領域常用的機率分布:對數常態分布、常態分布、韋伯分布、指數分布、伽瑪分布。因為這些分布都是通用伽瑪分布的特例。這些分布的變數,除常態分布之外,都是不為零的實數!數學的應用領域符合要解決問題的物品物理條件。
數學運算的加減乘除,處理與詮釋自變數與因變數的結構與因果關係,產品的構成方式:物質(化合)、物品(混合)、產品(組合),從現象學的觀點,壽命或失效發生時間適用的機率分布依次為對數常態分布(乘法性),常態分布(加法性),韋伯分布(幾何加法性),指數分布(指數加法性),伽瑪分布。
指數分佈,既是伽瑪分佈的特例,也是韋伯分佈的特例。那麼韋伯分佈與伽瑪分佈有沒有關係,若有的話又是什麼關係?關鍵在於韋伯分佈與伽瑪分佈應用兩個數學模型中參數的特性,當應用在可靠度領域時對可靠度物理意義的解釋有何幫助。

常用的韋伯分布有兩個參數:尺度參數和形狀參數,韋伯分布是固定下限邊界極小值分布 (type III minimum),所以常應用在描述壽命或失效發生時間。形狀參數一般以 β 表示,為無因次參數;尺度參數有 λ 和 η 兩種定義,η 的因次為時間 (time),λ 的因次為時間的倒數 (time-1),因此韋伯分布的機率密度函數有兩種書寫方式:



  


因為當隨機變數 t 等於尺度參數 η 時,無論形狀參數 β 的數值是多少,相對應的機率都是 63.2 %,因此在壽命試驗與可靠度領域又稱尺度參數為特徵壽命 (characteristic life),η = t0.63,機率密度函數寫為:



韋伯形狀參數 (β) 決定分布的形狀,當形狀參數相同或類似時,期望值有幾何加法性。此一特性可以應用於解釋物品壽命或失效發生時間的機率特性:當材料特質 (尺度參數 η) 類似的物品組合在一起時,物品組合的尺度參數 (λs) 的 β 次方 (λsβ) 為個別物品尺度參數 (λi) 的 β 次方 (λiβ) 的加總關係如下:




若以 η 表示尺度參數,物品組合與個別物品的尺度參數之間的關係如下:




當尺度參數固定 (η = 1)、形狀參數 β 為 0.25、1.0、2.0、4.0 時,韋伯分布的機率密度函數如下圖所示:




當尺度參數固定 (η = 1)、形狀參數 β 為 0.25、1.0、2.0、4.0 時,韋伯分佈的失效率函數如下圖所示:



形狀參數 β 為大於零的實數,是無因次參數,決定機率分布的形狀,一般而言,β 介於 0.5 至 8 之間。不同形狀參數 β 數值的特性說明如下:
  • 當韋伯分布的形狀參數 β < 1,f (t) 呈凹形,t 接近 0 時,機率密度函數 f(t) 趨近於無限大,f(t) 為單調遞減分布;
  • 當 β = 1、t = 0 時,f(t=0) = 1/η 為水平線,f(t) 為單調遞減分布。韋伯分布與指數分布相同,而指數分布源自波桑過程,可以視為多個獨立主要失效模式主導失效行為;
  • 當 β > 1 時,f(t) 為凸形單峰形狀;當 β 介於 1 至 2 之間時,韋伯分布的機率密度函數 f(t) 接近對數常態分布;
  • 當 β = 2 時,又稱為瑞雷分布(Rayleigh distribution);
  • 當 β 接近 2.5 時,韋伯分布接近對數常態分布;
  • 當 β < 2.6 時,韋伯分布的偏態係數為正值,機率密度函數 f(t) 為偏右尾分布;
  • 當 β 介於 3.3 至 3.7 時,韋伯分布的偏態係數接近零,機率密度函數 f(t) 接近常態分布;
  • 當 β > 3.7 時,韋伯分布的偏態係數為負值,機率密度函數 f(t) 為偏左尾分布。
  • 當 β > 10 時,韋伯分布接近最大值極值分布。

在可靠度工程領域,選擇韋伯分布適當的 β 值,可以符合包括初期失效期、偶發失效期及磨耗失效期等三個階段的全領域失效分布,同時也可以近似對數常態分布及常態分布,因此,韋伯分布適於描述很多的可靠度數據。

各種物品失效時間的韋伯分布形狀參數如表所示。

表:各種物品韋伯失效分布之形狀參數


物品名稱

β 值

物品名稱

β 值

物品名稱

β 值

電晶體0.2 – 1.2離合器軸承0.92油壓汽缸1.8
電阻器0.3 – 0.7空調裝置1.0開關2.3 – 2.5
電容器0.3 – 0.9煞車設備1.0 – 1.3微開關2.6
積體電路0.3 – 0.9自卸卡車1.0 – 1.7燈泡2.7 – 3.0
電視0.65 – 0.75電子管1.0 – 2.8馬達軸承3.0
汽車用點火線圈0.75墊圈1.2 – 1.5馬達3.0
升降機0.8 – 1.0標示燈1.2 – 2.3彈簧3.1
煉油裝備0.84 – 1.18冰箱1.3 – 1.7油壓幫浦4.2
計算機0.85 – 1.1閘踏板1.46

從韋伯機率密度函數圖可看出,不同產品壽命分佈的特質。



伽瑪分布的機率密度函數為:



伽瑪分布有兩個參數:尺度參數和形狀參數,尺度參數一般寫為 λ 、形狀參數寫為 κ。

伽瑪分布為指數分布隨機變數之和的機率分布,伽瑪分布具有加法性,亦即若兩個獨立隨機變數,符合形狀參數不同分別為 κ1 及 κ2,而形狀參數相同為 λ 的伽瑪分布,則這兩個隨機變數之和為形狀參數為 (κ1+κ2),尺度參數為 λ 的伽瑪分佈。
當 n 個獨立隨機變數都是符合尺度參數為 λ、形狀參數為 κ 的伽瑪分佈,其和也是隨機變數,可以使用尺度參數為 λ 、形狀參數為 nκ 的伽瑪分佈加以描述。

由於具備加法特性,伽瑪分布常應用於壽命試驗的壽命或失效發生時間的統計推論議題。試驗總時間 (T) 為 r 個失效發生時間 (t) 的總和:



若 t 為指數分布,則 T 為伽瑪分布!也就是說指數分布(或是波桑分布)的抽樣分布為伽瑪分布。














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好久没有上论坛,一上来就看到了彭大师神贴,学习了
求助:什么是截尾数据? 求助:什么是截尾数据?英文如何翻译?完整的标准定义出自哪里呢?比较通俗的解释是什么?  ...
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