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標題: 機率分布參數 [打印本頁]

作者: hlperng 時間: 2015-4-17 15:25:38 標題: 機率分布參數

本帖最後由 hlperng 於 2018-6-8 16:18 編輯

對於具有不確定性因素的事件、過程或輸出的數據，通常是以隨機變數來表示，而每一個隨機變數都可以用機率分佈函數來描述隨機變數中任何一選定數值的機率行為。在數學上，函數是由一些變數 (variables)、參數 (parameters)、常數 (constants)，以及加、減、乘、除、積分、微分等數學運算子 (operators) 所構成的。例如：

[tex]f(x) = f(x;\alpha, \beta, \gamma)[/tex]

其中 x 為隨機變數，α、β、γ 、δ ，[tex]\bar{X}[/tex]等為參數，參數又稱為母數。機率分佈的參數主要是說明事件、過程或輸出數據的機率表現，一旦確定機率分佈函數的參數之後，隨機變數領域中任何一個數值的發生機率均可經由機率分佈函數計算得。

一般機率分佈函數常見的參數有位置參數 (location parameter)、尺度參數 (scale parameter) 及形狀參數 (shape parameter) 等三種。每一種機率分佈有幾個參數並不一定，主要依該機率分佈的特性而定，而且不一定存在者參數，例如標準常態分佈則是沒有參數的分佈。這三種參數之意義與特性分別說明如下。

位置參數
位置參數，一般記為 μ，顧名思義，直觀上與隨機變數具有加或減的關係，亦即以 x + μ 或 x - μ 的方式出現在機率分佈函數中。位置參數的單位通常與隨機變數相同。位置參數有三種可能情況：第一種為表示隨機變數出現次數最多，機率分佈函數最大的位置，例如常態分佈的 μ[sub]X[/sub]；第二種是隨機變數的開始點，在此點左方時，f(x) = 0，例如三參數韋伯分佈及二參數指數分佈的 γ；第三種是表示分佈的隨機變數的最大值，例如二項分佈的 n。當然，並非所有的分佈都有位置參數，例如瑞雷分佈就沒有位置參數。

尺度參數
尺度參數，一般記為 η，與隨機變數為乘或除的關係，亦即以 x/η 或 η x 的方式出現在機率分佈函數中。尺度參數的單位通常與隨機變數相同，或是隨機變數單位的倒數。尺度參數的作用是改變橫座標的尺度，當 η 增減時，分佈即被從啟始點或中心點壓縮變高瘦或放鬆變矮胖。尺度參數並不會改變分佈的偏度或歪度 (skewness)，例如韋伯分佈的歪度即與尺度參數 η 和位置參數 γ 無關，常態分佈的尺度參數為 σ，指數分佈的尺度參數為 λ。對數常態分佈的參數 μ[sub]Y[/sub] 與 x 的關係，表面看來好像是加減關係，事實上因為取對數的關係，Y = ln (X)，實際的關係為乘除，因此對數常態分佈的參數 μ[sub]Y[/sub] 為尺度參數。

形狀參數
形狀參數，一般記為 α 或 β，與隨機變數為冪次方或開次方的關係，亦即以 x[sup]α[/sup] 或 α[sup]x[/sup] 的方式出現在機率分佈函數中。形狀參數沒有單位。形狀參數因控制機率分佈的形狀而得名，例如韋伯分佈的形狀參數 0 < β < 1 時，f(x = 0) = ∞ ，當x增大時漸減至 f(x = ∞) = 0；若 β >1，則 f(x = 0) = 0，當 x 增大時 f(x) 漸增，直到某一峰值（亦即眾數）之後，f(x) 反又隨著 x 的增大而減小。並不是所有的機率分佈都有形狀參數，例如常態分佈和指數分佈，這表示這種分佈只有一種形狀；而對數常態分佈的標準差為其形狀參數。同樣，對數常態分佈的參數 σ[sub]Y[/sub] 與 x 的關係初看好像是乘除關係，事實上因為取對數的關係 (Y = lnX)，實際的關係為冪次方，因此對數常態分佈的參數 σ[sub]Y[/sub] 為形狀參數。

常用的機率分佈如常態分佈、韋伯分佈、指數分佈、二項分佈、波桑分佈、瑞雷分佈、對數常態分佈之機率密度函數如下：

常態分佈：
[tex] f(x) = \frac{1}{\sigma_X \sqrt{2\pi}} exp \left(-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right)^2\right)[/tex]
其中 μ[sub]X[/sub] 為位置參數，σ[sub]X[/sub] 為尺度參數。

三參數韋伯分佈：
[tex] f(x) = \frac{\beta}{\eta} \left(\frac{x-\gamma}{\eta}\right)^{\beta-1} exp \left(-\left(\frac{x-\gamma} {\eta}\right)^\beta\right)[/tex]
其中 γ 為位置參數，η 為尺度參數，β 為形狀參數。

二參數指數分佈：
[tex]f(x) = \lambda exp \left(-\lambda\left(x-\gamma\right)\right)[/tex]
其中 γ 為位置參數，λ 為尺度參數。

伽瑪分佈：
[tex]f(x) = \frac{\lambda}{\Gamma(\kappa)} \left(\lambda x \right)^{\kappa-1} exp \left(-\lambda x \right)[/tex]
其中 λ 為尺度參數，κ 為形狀參數。

二項分佈：
[tex]f(x) = \binom {n}{x} p^x \left(1-p\right)^{nx}[/tex]
其中n為位置參數，p為形狀參數。

波桑分佈：
[tex]f(x) = \frac{\nu^x}{x!} e^{-\nu}[/tex]
其中 ν 為形狀參數。

瑞雷分佈：
[tex]f(x) = \frac{1}{\sigma}\frac{x}{\sigma} exp \left(-\frac{1}{2} \left(\frac{x }{\sigma}\right)^2\right)[/tex]
其中 σ 為尺度參數。

對數常態分佈：
[tex]f(x) = \frac{1}{x \sigma_Y \sqrt{2\pi}}exp \left(-\frac{1}{2} \left(\frac{ln x - \mu_Y}{\sigma_Y}\right)^2\right)[/tex]
其中 μ[sub]Y[/sub] 為尺度參數，σ[sub]Y[/sub] 為形狀參數。（因為隨機變曲對數的關係，參數的特性升一階。）

標準常態分佈：
[tex]f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} exp \left(-\frac {1}{2} x^2\right)[/tex]
無參數。

有些統計書籍作者逕稱機率分佈參數為第一參數、第二參數，蓋因從數學（公式）的觀點；若從工程應用觀點，宜導入因次的概念與意義，因此稱之為位置、尺度、形狀，有助於問題解析與詮釋。

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