參數、動差與統計量：機率統計分析時容易混淆造成困擾的三個數
本帖最後由 hlperng 於 2020-8-18 13:07 編輯在應用機率與統計等數學理論進行品質、可靠度、安全性、或其他工程分析時，伴隨著每一個機率分佈有三個數量或多或少會造成困擾：參數 (parameters)、動差 (moments) 與統計量 (statistics)。這三者之中，參數是直接顯示在數學函數中、動差與統計量則是必須經過計算才能得到，三者之間彼此存在著某種因果關係，為有效釐清其目的，有必要清楚地予以認知與識別，可方便後續溝通與應用。
參數是機率分佈函數的特性值，為構成機率分佈函數的項目，直接從公式可以找到與確認，參數說明機率分佈的特性，常用的有位置參數 (location parameter)、尺度參數 (scale parameter) 與 形狀參數(shape parameter)，利用它們與隨機變數的關係可以識別，例如位置參數與隨機變數為加減關係、通常代表分佈的最可能值、最小值或最大值，尺度參數與隨機變數為乘除關係，形狀參數與隨機變數為冪方或開冪方關係。
動差是特定函數的期望值，必須經過數學（微積分）計算才得到的數，分為原點動差 (moments about origin) 與中心動差 (moments about center)，有階層關係，常用的為一階動差與二階動差。
統計量為根據樣本觀測數據經過數學（算術）計算得到的數量，常用的為樣本平均數 (sample mean) 與樣本標準誤差 (sample standard error)。
常態分佈有兩個參數，分別為位置參數 μ 及尺度參數 σ，一般卻稱位置參數為平均數、尺度參數為標準偏差；指數分佈有一個參數，尺度參數 λ；對數常態分佈有兩個參數，尺度參數 μY、形狀參數 σY；常用的韋伯分佈有兩個參數，尺度參數 η、形狀參數 β，偶而會出現第三個參數，位置參數 γ。
已知機率分佈的機率密度函數為 f(x) ，- ∞ < x < + ∞ ，則 k 階原點動差 (μk) 及 k 中心動差 (ηk) 的定義分別為：
\mu_k = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k f(x) dx
\eta_k = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu_1)^k f(x) dx
當 k = 1 時，為一階原點動差，μ1 ，一般又稱為平均數 (mean)：
\mu_1 = E(T) = \int_0^{\infty} t f(t) dt = \mu
而 k = 2 的二階中心動差 ，η2 ，稱為變異數 (variance)：
\eta_2 = V(T) = E\left((T-\mu)^2\right) = \int_0^\infty (t-\mu)^2 f(t) dt = \sigma^2
變異數開根數為標準偏差 σ：
\sqrt {\eta_2} = \sigma
常用的統計量有樣本平均數 \bar{x}，樣本變異數 s2 ，或樣本標準誤差 (standard error) ，s，分別為：
\bar{x} =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(x - \bar{x} \right)^2
s = \sqrt {s^2} = \sqrt {\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x - \bar{x})^2}
由上三式可知，統計量與機率分佈無關，純粹可以根據樣本觀測值或量測值計算得到。
常態分佈有兩個參數：μ 為位置參數、σ 為尺度參數：
f(t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} exp\left(-\frac{1}{2}\left({\frac{t-\mu}{\sigma}}\right)^2\right)
但是一般在應用時，大多稱 μ 為平均數 (mean)、稱 σ 為標準偏差 (standard deviation)。
事實上，常態分佈的一階原點動差 μ1 等於位置參數 μ，標準偏差等於尺度參數 σ。
描述機率分佈時，要用參數；動差則是隨機變數代表性的數，根據機率分佈的定義，依照期望值的定義計算得到的。
機率分佈機率密度函數位置參數尺度參數形狀參數平均數標準偏差
常態分佈
f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}exp\left(-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)μσ-μσ
對數常態分佈f(x)=\frac{1}{\sigma_Y x \sqrt{2\pi}}exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{ln x -\mu_Y}{\sigma_Y}\right)^2\right) μYσY exp\left(\mu_Y+\frac{\sigma^2}{2}\right) \sqrt{exp(2\mu_Y+\sigma^2)(exp(\mu^2)-1)}
指數分佈 f(t) = \lambda exp( - \lambda t) -λ-\frac{1}{\lambda} \frac{1}{\lambda}
韋伯分佈f(t)= \frac{\beta}{\eta}\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta-1}exp\left(-\left(\frac{t}{\eta}\right)^\beta\right) ηβ\eta\left(\Gamma\left(1+\frac{1}{\beta}\right)\right)\sqrt{\eta^2\left(\Gamma\left(1+\frac{2}{\beta}\right) - \left(\Gamma\left(1+\frac{1}{\beta}\right)\right)^2\right)}
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