韋伯分布與伽瑪分布在可靠度領域的物理意義
本帖最後由 hlperng 於 2022-8-1 09:42 編輯韋伯分布描述產品壽命的工程整合、伽瑪分布描述產品壽命的統計整合。
可靠度與壽命領域常用的機率分布：對數常態分布、常態分布、韋伯分布、指數分布、伽瑪分布。因為這些分布都是通用伽瑪分布的特例。這些分布的變數，除常態分布之外，都是不為零的實數！數學的應用領域符合要解決問題的物品物理條件。
數學運算的加減乘除，處理與詮釋自變數與因變數的結構與因果關係，產品的構成方式：物質（化合）、物品（混合）、產品（組合），從現象學的觀點，壽命或失效發生時間適用的機率分布依次為對數常態分布（乘法性），常態分布（加法性），韋伯分布（幾何加法性），指數分布（指數加法性），伽瑪分布。
指數分佈，既是伽瑪分佈的特例，也是韋伯分佈的特例。那麼韋伯分佈與伽瑪分佈有沒有關係，若有的話又是什麼關係？關鍵在於韋伯分佈與伽瑪分佈應用兩個數學模型中參數的特性，當應用在可靠度領域時對可靠度物理意義的解釋有何幫助。
常用的韋伯分布有兩個參數：尺度參數和形狀參數，韋伯分布是固定下限邊界極小值分布 (type III minimum)，所以常應用在描述壽命或失效發生時間。形狀參數一般以 β 表示，為無因次參數；尺度參數有 λ 和 η 兩種定義，η 的因次為時間 (time)，λ 的因次為時間的倒數 (time-1)，因此韋伯分布的機率密度函數有兩種書寫方式：
f(t) = (\beta \lambda) (\lambda t)^{\beta -1} exp (- (\lambda t)^{\beta})
f(t) = \frac {\beta} {\eta} (\frac {t} {\eta})^{\beta - 1} exp ( - (\frac {t} {\eta} )^ {\beta} )
因為當隨機變數 t 等於尺度參數 η 時，無論形狀參數 β 的數值是多少，相對應的機率都是 63.2 %，因此在壽命試驗與可靠度領域又稱尺度參數為特徵壽命 (characteristic life)，η = t0.63，機率密度函數寫為：
f(t) =\frac {\beta} {t_{0.63}} (\frac {t} {t_{0.63}})^{\beta -1} exp(-(\frac {t} {t_{0.63}})^{\beta}
韋伯形狀參數 (β) 決定分布的形狀，當形狀參數相同或類似時，期望值有幾何加法性。此一特性可以應用於解釋物品壽命或失效發生時間的機率特性：當材料特質 (尺度參數 η) 類似的物品組合在一起時，物品組合的尺度參數 (λs) 的 β 次方 (λsβ) 為個別物品尺度參數 (λi) 的 β 次方 (λiβ) 的加總關係如下：
{\lambda_s}^{\beta} = \sum_{i=1}^n {\lambda_i}^{\beta}
若以 η 表示尺度參數，物品組合與個別物品的尺度參數之間的關係如下：
{\frac{1}{\eta_s}}^{\beta}= \sum_{i=1}^n {\frac{1}{\eta_i}}^{\beta}
當尺度參數固定 (η = 1)、形狀參數 β 為 0.25、1.0、2.0、4.0 時，韋伯分布的機率密度函數如下圖所示：
當尺度參數固定 (η = 1)、形狀參數 β 為 0.25、1.0、2.0、4.0 時，韋伯分佈的失效率函數如下圖所示：
形狀參數 β 為大於零的實數，是無因次參數，決定機率分布的形狀，一般而言，β 介於 0.5 至 8 之間。不同形狀參數 β 數值的特性說明如下：
[*]當韋伯分布的形狀參數 β < 1，f (t) 呈凹形，t 接近 0 時，機率密度函數 f(t) 趨近於無限大，f(t) 為單調遞減分布；
[*]當 β = 1、t = 0 時，f(t=0) = 1/η 為水平線，f(t) 為單調遞減分布。韋伯分布與指數分布相同，而指數分布源自波桑過程，可以視為多個獨立主要失效模式主導失效行為；
[*]當 β > 1 時，f(t) 為凸形單峰形狀；當 β 介於 1 至 2 之間時，韋伯分布的機率密度函數 f(t) 接近對數常態分布；
[*]當 β = 2 時，又稱為瑞雷分布(Rayleigh distribution)；
[*]當 β 接近 2.5 時，韋伯分布接近對數常態分布；
[*]當 β < 2.6 時，韋伯分布的偏態係數為正值，機率密度函數 f(t) 為偏右尾分布；
[*]當 β 介於 3.3 至 3.7 時，韋伯分布的偏態係數接近零，機率密度函數 f(t) 接近常態分布；
[*]當 β > 3.7 時，韋伯分布的偏態係數為負值，機率密度函數 f(t) 為偏左尾分布。
[*]當 β > 10 時，韋伯分布接近最大值極值分布。
在可靠度工程領域，選擇韋伯分布適當的 β 值，可以符合包括初期失效期、偶發失效期及磨耗失效期等三個階段的全領域失效分布，同時也可以近似對數常態分布及常態分布，因此，韋伯分布適於描述很多的可靠度數據。
各種物品失效時間的韋伯分布形狀參數如表所示。
表：各種物品韋伯失效分布之形狀參數
物品名稱β 值物品名稱β 值物品名稱β 值
電晶體0.2 – 1.2離合器軸承0.92油壓汽缸1.8
電阻器0.3 – 0.7空調裝置1.0開關2.3 – 2.5
電容器0.3 – 0.9煞車設備1.0 – 1.3微開關2.6
積體電路0.3 – 0.9自卸卡車1.0 – 1.7燈泡2.7 – 3.0
電視0.65 – 0.75電子管1.0 – 2.8馬達軸承3.0
汽車用點火線圈0.75墊圈1.2 – 1.5馬達3.0
升降機0.8 – 1.0標示燈1.2 – 2.3彈簧3.1
煉油裝備0.84 – 1.18冰箱1.3 – 1.7油壓幫浦4.2
計算機0.85 – 1.1閘踏板1.46
從韋伯機率密度函數圖可看出，不同產品壽命分佈的特質。
伽瑪分布的機率密度函數為：
f(t) = \frac{\lambda}{\Gamma(\kappa)} (\lambda t)^{\kappa-1} exp (-\lambda t), t > 0
伽瑪分布有兩個參數：尺度參數和形狀參數，尺度參數一般寫為 λ 、形狀參數寫為 κ。
伽瑪分布為指數分布隨機變數之和的機率分布，伽瑪分布具有加法性，亦即若兩個獨立隨機變數，符合形狀參數不同分別為 κ1 及 κ2，而形狀參數相同為 λ 的伽瑪分布，則這兩個隨機變數之和為形狀參數為 (κ1+κ2)，尺度參數為 λ 的伽瑪分佈。
當 n 個獨立隨機變數都是符合尺度參數為 λ、形狀參數為 κ 的伽瑪分佈，其和也是隨機變數，可以使用尺度參數為 λ 、形狀參數為 nκ 的伽瑪分佈加以描述。
由於具備加法特性，伽瑪分布常應用於壽命試驗的壽命或失效發生時間的統計推論議題。試驗總時間 (T) 為 r 個失效發生時間 (t) 的總和：
T = \sum_{i=1}^r t_i
若 t 為指數分布，則 T 為伽瑪分布！也就是說指數分布（或是波桑分布）的抽樣分布為伽瑪分布。
好久没有上论坛，一上来就看到了彭大师神贴，学习了 請問有人知道"表：各種物品韋伯失效分布之形狀參數" 是出自哪本書。
頁:
[1]